Soal SBMPTN 2018
Tentukan \( \displaystyle \int_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{3}} \frac{3}{x^2} \sqrt{1+\frac{1}{x}} \ dx \).
- 19
- 38
- 57
- 76
- 95
Pembahasan:
Kita bisa selesaikan integral ini menggunakan teknik substitusi. Misalkan \( u = 1+\frac{1}{x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = 1+\frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= -\frac{1}{x^2} \\[8pt] dx &= -x^2 \ du \end{aligned}
Selanjutnya, ganti batas dari integralnya, yakni:
\begin{aligned} x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u = 1+\frac{1}{x} = 4 \\[8pt] x = \frac{1}{8} \Leftrightarrow u = 1+\frac{1}{x} = 9 \end{aligned}
Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:
\begin{aligned} \int_{1/8}^{1/3} \frac{3}{x^2} \sqrt{ 1+ \frac{1}{x} } \ dx &= \int_9^4 \frac{3}{x^2} \sqrt{u} \cdot (-x^2) \ du \\[8pt] &= - \int_9^4 \sqrt{u} \ du = \int_4^9 3u^{1/2} \ du \\[8pt] &= \left[ \frac{3}{\frac{1}{2}+1}u^{3/2} \right]_4^9 = \left[ 2u^{3/2} \right]_4^9 \\[8pt] &= 2(9)^{3/2}-2(4)^{3/2} \\[8pt] &= 54-16 \\[8pt] &= 38 \end{aligned}
Jawaban B.